Manipuler les nombres réels
Seconde Générale et Technologique
B-02

Nombres réels

La droite numérique est une droite graduée où chaque point est en correspondance avec un nombre réel. L'ensemble des nombres réels est noté $\mathbb{R}$.
Tracez la droite numérique d'unité graphique $\SI{3}{\cm}$ et y placer $-\frac{3}{2}$, $\frac{5}{3}$, $-\frac{2}{3}$, $\frac{34}{12}$ et approximativement $\sqrt{2}$ et $\pi$.

  • $-\frac{3}{2}=-3\div 2=-\num{1.5}$

  • $\frac{5}{3}=1+\frac{2}{3}$

  • $\frac{34}{12}=\frac{17}{6}=\frac{12}{6}+\frac{5}{6}=2+\frac{5}{6}$

  • $\sqrt{2}\approx 1{,}41$

  • $\pi\approx \num{3.14}$

0 1 -1 -\frac{3}{2} \frac{5}{3} \frac{34}{12} -\frac{2}{3} \sqrt{2} \pi
$$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{D}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$$
$-\mathbb{N}$ $-\mathbb{Z}$ $-\mathbb{D}$ $-\mathbb{Q}$ $-\mathbb{R}$ $0$ $1$ $2$ $-5$ $-0{,}7$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$ $-\frac{4}{7}$ $\sqrt{2}$ $\pi$
$\mathbb{N}^*$, $\mathbb{Z}^*$, $\mathbb{D}^*$, $\mathbb{Q}^*$ et $\mathbb{R}^*$ désignent les ensembles privés de $0$.
Ajouter ou soustraire deux nombres réels par un même nombre ne change pas l'ordre.
Indiquez pour chaque inégalité, l'intervalle auquel appartient $x$.
  1. $x-2\lt 3$
  2. $x+4\geqslant -9$
  3. $8\geqslant x-3$
  4. $x+5\gt 6$
  5. $6-x\lt 2$
  6. $-2+x\leqslant -5$
  7. $-3-x\gt -7$
  8. $-3\leqslant -5+x$
  9. $6-x\lt 4$
  1. $$ \begin{align*} x-2&\lt 3\\ x&\lt 3+2\\ x&\lt 5 \end{align*} $$ $$x\in]-\infty;5[$$
  2. $$ \begin{align*} x+4&\geqslant -9\\ x&\geqslant -9-4\\ x&\geqslant -13 \end{align*} $$ $$x\in[-13;+\infty[$$
  3. $$ \begin{align*} 8&\geqslant x-3\\ 8+3&\geqslant x\\ 11&\geqslant x\\ x&\leqslant 11
  4. $$ \begin{align*} x+5&\gt 6\\ x&\gt 6-5\\ x&\gt 1 \end{align*} $$ $$x\in]1;+\infty[$$
  5. $$ \begin{align*} 6-x&\lt 2\\ 6&\lt 2+x\\ 6-2&\lt x\\ 4&\lt x\\ x&\gt 4 \end{align*} $$ $$x\in]4;+\infty[$$
  6. $$ \begin{align*} -2+x&\leqslant -5\\ x&\leqslant -5+2\\ x&\leqslant -3 \end{align*} $$ $$x\in]-\infty;-3]$$
  7. $$ \begin{align*} -3-x&\gt -7\\ -3&\gt -7+x\\ -3+7&\gt x\\ 4&\gt x\\ x&\lt 4 \end{align*} $$ $$x\in]-\infty;4[$$
  8. $$ \begin{align*} -3&\leqslant -5+x\\ -3+5&\leqslant x\\ 2&\leqslant x\\ x&\geqslant 2 \end{align*} $$ $$x\in[2;+\infty[$$
  9. $$ \begin{align*} 6-x&\lt 4\\ 6&\lt 4+x\\ 6-4&\lt x\\ 2&\lt x\\ x&\gt 2 \end{align*} $$ $$x\in]2;+\infty[$$

Intervalles

Un intervalle de nombres réels est une portion de droite numérique : la droite toute entière, un segment ou une demi-droite. L'ensemble vide note $\emptyset$ est aussi un intervalle.
Notation pour les intervalles bornés : ($a$ et $b$ sont des réels tels que $a\lt b$)
On considère les intervalles suivants :
  1. $[-2;3]$
  2. $]3;5[$
  3. $[-1;3[$
  4. $[3;6[$
Pour chaque nombre de la liste suivante, indiquez à quel(s) intervalle(s) il appartient :
  1. $\sqrt{2}$
  2. $3$
  3. $-1$
  4. $\dfrac{7}{2}$
  5. $\dfrac{-1}{2}$
  6. $\dfrac{26}{5}$
  7. $\dfrac{23}{12}$
  8. $\dfrac{19}{6}$
  9. $\dfrac{5}{2}$
  10. $\dfrac{8}{3}$
  11. $5$
  12. $\pi$
  1. $\sqrt{2}\in[-2;3[$ et $\sqrt{2}\in[-1;3[$
  2. $3\in[-2;3]$ et $3\in[3;6[$
  3. $-1\in[-2;3]$ et $-1\in[-1;3[$
  4. $\dfrac{7}{2}\in[3;6[$ et $\dfrac{7}{2}\in]3;5[$
  5. $\dfrac{-1}{2}\in[-2;3]$ et $\dfrac{-1}{2}\in[-1;3[$
  6. $\dfrac{26}{5}\in[3;6[$
  7. $\dfrac{23}{12}\in[-2;3[$ et $\dfrac{23}{12}\in[-1;3[$
  8. $\dfrac{19}{6}\in[3;6[$ et $\dfrac{19}{6}\in]3;5[$
  9. $\dfrac{5}{2}\in[-2;3[$ et $\dfrac{5}{2}\in[-1;3[$
  10. $\dfrac{8}{3}\in[-2;3[$ et $\dfrac{8}{3}\in[-1;3[$
  11. $5\in[3;6[$
  12. $\pi\in[3;6[$ et $\pi\in]3;5[$
Notation pour les intervalles non bornés : ($a$ est un réel)
Indiquez sur quel intervalle de nombres sont définies les fonctions suivantes :
  1. $f_1(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$
  2. $f_2(x)=\sqrt{-7x}$
  3. $f_3=\dfrac{1}{\sqrt{x+3}}$
  4. $f_4(x)=\dfrac{1}{\sqrt{7-x}}$
  5. $f_5(x)=\sqrt{x-\frac{4}{3}}$
  6. $f_6(x)=\sqrt{\num{8.1}+x}$
  7. $f_7(x)=\dfrac{1}{\sqrt{-2+x}}$
  8. $f_8(x)=\sqrt{-5-x}$

  1. $f_1(x)=\sqrt{x}$ est définie sur $$]0;+\infty[$$

  2. $f_2(x)=\sqrt{-7x}$ est définie sur $$]-\infty;0]$$

  3. $f_3(x)=\sqrt{x+3}$ est définie sur $$]-3;+\infty[$$

  4. $f_4(x)=\sqrt{7-x}$ est définie sur $$]-\infty;7[$$

  5. $f_5(x)=\sqrt{x-\frac{4}{3}}$ est définie sur $$[\frac{4}{3};+\infty[$$

  6. $f_6(x)=\sqrt{\num{8.1}+x}$ est définie sur $$[-\num{8.1};+\infty[$$

  7. $f_7(x)=\sqrt{-2+x}$ est définie sur $$]2;+\infty[$$

  8. $f_8(x)=\sqrt{-5-x}$ est définie sur $$]-\infty;-5]$$

On considère les ensembles suivants :
  1. $[-2;5]\cap[0;7]$
  2. $]-2;5]\cup[0;7]$
  3. $[-2;5[\cap[0;3]$
  4. $[-2;5]\cup]0;3]$
  5. $[-2;5]\cap]-4;3[$
  6. $[-2;+\infty[\cap]-4;3[$
  7. $]-2;+\infty[\cup[-4;3[$
  1. Déterminez dans chaque cas si $3$ appartient à l'ensemble réunion ou intersection.
  2. Tracez schématiquement les intervalles sur deux droites numériques et en déduire, si possible, un intervalle correspondant à l'union ou l'intersection.
    • $$3\in[-2;5]\cap[0;7]$$
    • $$3\in]-2;5]\cup[0;7]$$
    • $$3\in[-2;5[\cap[0;3]$$
    • $$3\in[-2;5]\cup]0;3]$$
    • $$3\notin[-2;5]\cap]-4;3[$$
    • $$3\in[-2;+\infty[\cap]-4;3[$$
    • $$3\in]-2;+\infty[\cup[-4;3[$$
    • $$[-2;5]\cap[0;7] = [0;5]$$
    • $$]-2;5]\cup[0;7] = ]-2;7]$$
    • $$[-2;5[\cap[0;3] = [0;3]$$
    • $$[-2;5[\cup]0;3] = [-2;5[$$
    • $$[-2;5]\cap[-4;3[ = ]-4;3[$$
    • $$[-2;+\infty[\cap]-4;3[ = [-2;3[$$
    • $$]-2;+\infty[\cup[-4;3[ = [-4;+\infty[$$